Příklady z matematiky

Pro zápis výroků se v matematických disciplínách (kromě mnoha dalších speciálních symbolů) používají kvantifikátory.

 

Existenční kvantifikátor
Existenční kvantifikátor $ slouží k zápisu takového výroku, který sděluje, že existuje alespoň jeden objekt (prvek nějaké množiny) mající nějakou vlastnost.
Příklad:

$ x Î Z ; x > 117

Výrok sděluje, že existuje alespoň jeden takový objekt x, který je prvkem množiny celých čísel Z (x je tedy celé číslo) a zároveň je větší než 117. Tento výrok je evidentně pravdivý, protože např. x = 238 je jak celé číslo, tak je větší než 117.

 

Všeobecný kvantifikátor

Všeobecný kvantifikátor " slouží k zápisu takového výroku, který sděluje, že všechny objekty (prvky nějaké množiny) mají nějakou vlastnost.

 

Příklad:

" x Î Z ; x2 > 0

Výrok sděluje, že pro všechna x, která jsou prvky množiny celých čísel (tedy pro všechna celá čísla) platí, že jejich kvadrát je větší než nula. Tento výrok je evidentně nepravdivý, protože nula je celé číslo, ale její kvadrát (což je nula) není větší než nula (protože je rovno nule) a tedy výrok neplatí pro všechna celá čísla.

 

Negace kvantifikovaných výroků

Kvantifikované výroky a jejich negace

Příklad 1:

             Pomocí kvantifikátorů utvořte z následujících vět pravdivé výroky:

                          a) pro čísla x, y platí x2 + y2 = 0

                          b) pro číslo x platí x2 + 1 > 0

 

Příklad 2:

             Utvořte negace následujících pravdivých výroků:

                          a) Průnik libovolné množiny s množinou prázdnou je prázdná množina

                          b) Existuje alespoň jeden trojúhelník, který je pravoúhlý.

                          c) Existuje aspoň jedno reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 0.

                          d) Druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné.

 

Příklad 3:

             Posuďte pravdivost následujících výroků a utvořte jejich negace:

                          a) Úhlopříčky každého čtyřúhelníku jsou navzájem kolmé.

                          b) Každé celé číslo je racionální.

                          c) Existuje trojúhelník, ve kterém součet všech jeho vnitřních úhlů není roven 180°.

                          d) Existuje alespoň jedno reálné číslo, jehož součin s nulou je číslo nenulové.

 

Příklad 4:

             Následující tvrzení považujte za výroky a negujte je:

                          a) Nic nového pod sluncem.

                          b) Bez práce nejsou koláče.

                          c) Žádný učený z nebe nespadl.

                          d) Kdo jinému jámu kopá, sám do ní spadne.

 

Příklad 5:

             Určete, který z níže uvedených výroků je negací výroku: Každá kočka je černá.

                          a) Každá kočka je bílá.

                          b) Každá kočka není černá.

                          c) Alespoň jedna kočka je bílá.

                          d) Aspoň jedna kočka není černá.

 

Příklad 6:

             Negujte pravdivé výroky:

                          a) Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro něž Öx2 = x.

                          b) Pro všechna reálná čísla x > 1 platí Öx2 > x.

                          c) Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti.

                          d) Žádné přirozené číslo není menší než - 10.

 

Příklad 7:

             Negujte nepravdivé výroky:

                          a) Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché.

                          b) Každé dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné.

                          c) Existuje aspoň jeden trojúhelník,ve kterém se všechny jeho výšky neprotínají v                               jediném bodě.

                          d) Součet žádných dvou celých čísel není roven 0.

 

Příklad 8:

             Doplňte jedno ze slov: „alespoň, právě, nejvýše“ tak, aby výrok byl pravdivý.

                    a) Každé prvočíslo má …dva různé dělitele.

                    b) Dvě různé přímky v rovině mohou mít … jeden společný bod.

                    c) Nerovnici x2 > 5 splňují … tři přirozená čísla.

 

Příklad 9:

             Doplňte jedno ze slov: „existuje, každý“ tak, aby výrok byl pravdivý.

                          a) …trojúhelník, který je rovnostranný.

                    b) …přirozený násobek čísla 2 je sudé číslo.

 

Příklad 10:

                  Kvantifikované výroky zapsané symbolicky vyjádřete slovy a rozhodněte o jejich pravdivosti.

                    a) " x Î R: x2 > 0

                    b) " x Î R: Öx2= |x|

                    c) " x Î R $ x Î R: x.y = 10

                    d) "a Î R "bÎR: a = b Û a2 = b2

                    e) " a ÎR+ " b Î R+: a < b  =>  a 2 < b2

                    f) $ xÎR " y ÎR: x . y = y

 

Příklad 11:

       Vyslovte negace následujících výroků:

                    a) Alespoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x - 40 < 0.

                    b) Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů.

                    c) Rovnice x5- x + 2 =0 má právě tři kořeny v množině komplexních čísel.

                    d) Existuje takové reálné číslo m, že platí: (m+1)2 = m.

                    e) Každé prvočíslo je liché číslo.

Výrok

Negace výroku

" x Î M: V(x)

Pro každé x z množiny M platí

$ x Î M: ØV(x)

Existuje alespoň jedno x z množiny M, pro které neplatí

" x Î M: ØV(x)

Žádné x z množiny M není

$ x Î M: V(x)

Existuje alespoň jedno x z množiny M, pro které platí

Alespoň n objektů….je…..

Nejvýše (n - 1) objektů ….je …..

Alespoň n objektů….není…..

Nejvýše (n - 1) objektů ….není …..