Příklady z matematiky

Jednoduché výroky se označují velkými písmeny A, B atd. Z těchto jednoduchých výroků pak můžeme pomoci logických spojek (symbolů) vytvořit složený výrok. Známe čtyři základní logické spojky:

· A Ù  B je konjunkce výroků, čteme „výrok A a (zároveň) výrok B“

· A  Ú B je disjunkce výroků, čteme „výrok A nebo výrok B“

· Þ B je implikace, čteme „jestliže výrok A, pak výrok B“

· Û B je ekvivalence, čteme „výrok A právě tehdy když výrok B“

Konkrétní příklady:

konjunkce:

„Naučím se matematiku a dostanu jedničku.“

disjunkce:

„Naučím se matematiku nebo dostanu jedničku.“

implikace:

Jestliže  se naučím matematiku , pak dostanu jedničku.“

ekvivalence:

„Naučím se matematiku právě tehdy, když dostanu jedničku.“

 

Tabulky pravdivostních hodnot

 

                                                                                          

 

 

 

                                                             

 

 

             

 

 

Složené výroky

Příklad 1:

             Zdůvodněte, proč výrok „Praha a Tokio jsou evropská města“ je nepravdivý a proč výrok  „Praha nebo Tokio jsou evropská města“ je pravdivý.

 

Příklad 2:

             Je dán pravdivý výrok A, nepravdivý výrok B a pravdivý výrok C. Určete, který z výroků

                          (AÚ B)ÙC,                     (AÙ B)ÚC,          (A Ù C)ÚB,                 (AÚ C)ÙB

             je pravdivý a který nepravdivý.

 

Příklad 3:

             Posuďte pravdivost výroků

            

             AÚA,    AÙA,                ØAÙA,             ØAÚA,             ØAÙØA,          ØAÚØA

            

             v závislosti na pravdivosti výroku A.

 

Příklad 4:

             Určete, jak závisí pravdivost výroků

 

             (ØA Ù B) Ú A,               (ØA Ù B) Ú B,               (ØA Ú B) Ú B

 

             na pravdivosti výroků A,B.

 

Příklad 5:

             Vašek, který není náčelníkem Siouxů, prohlásil: Je-li třetí odmocnina z deseti menší než tři, pak jsem náčelník Siouxů.“ Posuďte pravdivost této implikace, implikace obrácené a obměněné.

 

Příklad 6:

             Jsou dány výroky:

                          A: Úhel ACB je pravý.

                          B: Bod C leží na kružnici o průměru AB.

             Posuďte pravdivost výroků: A Þ B, BÞA, AÛB, ØAÛØB

 

Příklad 7:

             Určete, které z následujících výroků jsou tautologie:

                          a) (AÙ B) Û (ØAÚØB)

                          b) (AÛB)Û (ØAÛØB)

                          c) (A Þ B) Þ (ØA Þ ØB)

 

Příklad 8:

             Určete, jak závisí pravdivost výroků

                         

                          AÞ(A Ù B),                  (A Ù B)ÞB,                  (A Ù B)Þ (A Ú B)     

 

             na pravdivostech výroků A, B.

 

Příklad 9:

             Vyšetřete pravdivost výroků

 

                          AÛ(A Ù B),                  AÛ(A Ú B),              (A Ú B)Û(A Ù B)

 

             v závislosti na pravdivostech výroků A, B.

 

 

Příklad 10:

       Udělejte pravdivostní tabulku a zjistěte,zda oba výroky jsou ekvivalentní

             a)   A Þ ( BÚC)                              (AÞB) Ú (AÞC)

             b)   (AÚØC)ÞØB                          BÞ(ØA Ù C)             

              c)    AÛB                                       (AÞB) Ù (BÞA)

                   d)    AÞ(ØBÚC)                            (AÞØB) Ú (AÞC)

 

Příklad 11:

               Pro provozní dobu 3 benzínových stanic A,B,C v určitém městě platí:

                   a)  vždy je v provozu stanice A nebo C

                    b)  C je mimo provoz právě tehdy, když je otevřena A

                   c)   Je-li otevřena C, pak je A mimo provoz a je otevřeno B

     Určete všechny možnosti provozu těchto stanic.

 

Příklad 12:

             Petr a Pavel čekají před kinem na své spolužáky Adama, Břetislava a Cyrila.

                    Petr tvrdí : „Přijde-li Adam a Břetislav, přijde i Cyril.“

                    Pavel říká: „Já si myslím, že když přijde Adam a nepřijde Cyril, nepřijde ani

                        Břetislav.“

                    Petr povídá: „To ovšem říkáš totéž, co já.“

     Ověřte, zda doopravdy Petr i Pavel říkají totéž.

 

Příklad 13:

       Kapitán Exner vyšetřuje případ vraždy. Okruh podezřelých je A,B,C.Kapitán ví toto:

Jestliže byl na místě činu C, pak tam nebyl A, ale byl tam B

Není pravda, že na místě činu nebyl A a přitom tam nebyl C

V době, kdy byl na místě činu A nebyl tam C a když tam nebyl C byl tam A.

            Kapitán Exner: „ To nám na usvědčení nestačí.“

            Podřízený říká: „Ještě víme, že podezřelý byl na místě činu sám.“

 

Obměna implikace

a => b ….. Øa => Øb
Implikace a její obměna mají vždy stejnou pravdivostní hodnotu.

Obrácení implikace

a => b …. b => a
Implikace a k ní obrácená implikace nemusí mít stejnou pravdivostní hodnotu.

Tautologie

Složený výrok, který je pravdivý bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků, z kterých je sestaven.

Kontradikce

Složený výrok, který je bez ohledu na pravdivostní hodnoty obsažených výroků vždy nepravdivý.

x

Øx

0

1

1

0

x

y

x Ù y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

x

y

x Ú y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

x

y

x Þ y

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

x

y

x Û y

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1