Příklady z matematiky

Definice

- je vymezení matematického pojmu pomocí pojmů základních nebo pojmů definovaných již dříve.

 

Příklad:

Osa úsečky je přímka, která prochází středem této úsečky a je kolmá k přímce, která danou úsečku obsahuje. (základní pojmy- úsečka, střed úsečky, přímka)

 

 

Matematická věta

- je tvrzení, jehož pravdivost musí být dokázána.

 

Axiom

- je tvrzení, které se přijímá za pravdivé bez důkazu.

 

Příklad axiomu:

Každým bodem lze k dané přímce vést jedinou rovnoběžku.

 

 

Důkaz

- je úvaha, která zdůvodňuje platnost matematické věty. S hlavními typy důkazů matematických vět se nyní seznámíme; omezíme se však na věty, které jsou v matematice nejčastější. Jsou to:

             a) Věty, které mají tvar elementárního výroku - Př.: Druhá odmocnina ze dvou je číslo iracionální.

             b) Věty, které mají tvar implikace - Př.: Rozmístíme-li do deseti přihrádek jedenáct předmětů, pak                   aspoň v jedné přihrádce jsou aspoň dva předměty.

             c) Věty, které mají tvar ekvivalence - Př.: Počet prvočísel je nekonečný  právě tehdy, když                             neexistuje největší prvočíslo.

 

Důkazy vět, které mají tvar elementárního výroku

- používáme důkaz přímý nebo důkaz sporem

 

Přímý důkaz je založen na této vlastnosti implikace:

Platí-li výrok A a implikace A Þ B, platí i výrok B

 

Důkaz sporem je založen na této vlastnosti implikace:

Platí-li implikace A Þ B a neplatí-li výrok B, neplatí ani výrok A.

 

 

Důkazy vět, které mají tvar implikace

-používáme důkaz přímý, důkaz sporem a důkaz nepřímý.

 

Přímý důkaz věty A Þ B spočívá v tom, že z předpokladu, že platí A, odvodíme postupně, že platí AÞ B1 , B1 Þ B2, ……, Bn Þ B; tím je platnost věty  A Þ B  dokázána. ( Jestliže výrok A neplatí, je implikace        A Þ B splněna a nemusíme nic dokazovat.)

 

Důkaz sporem

-předpokládáme, že platí negace této věty, tj. A Ù ØB, a odvodíme z ní výrok C, o kterém víme, že je nepravdivý. Protože platí implikace ( A Ù ØB) Þ C, ale výrok C neplatí, neplatí ani výrok   A Ù ØB, což znamená, že platí A Þ B.

 

Nepřímý důkaz

-spočívá v tom, že dokážeme obměněnou implikaci ØB Þ ØA, která je s implikací A Þ B ekvivalentní.

 

 

Důkazy vět, které mají tvar ekvivalence

-platnost věty AÛB se nejčastěji dokazuje tak, že se dokážou implikace A Þ B a implikace B Þ A.

Definice, věty, důkazy

Příklad 1:

             Dokažte, že v každém trojúhelníku je součet všech jeho vnitřních úhlů roven 180°.

 

 

Příklad 2:

             Dokažte, že šachovnici 8 x 8, ze které je odstřiženo levé dolní a pravé horní políčko,                           nelze pokrýt 31 obdélníky 2 x 1. ( Pokrytím přitom rozumíme takový způsob umístění                         daných obdélníků na tuto šachovnici, že každé políčko šachovnice je zakryto právě jedním                ze dvou čtverců, z nichž je složen každý obdélník  2 x 1.)

 

 

Příklad 3:

             Je dána kružnice k s průměrem AB. Dokažte, že platí: Je-li X libovolný bod kružnice k,              který je různý od A,B, potom úhel AXB je pravý.

 

 

Příklad 4 :

             Je dám trojúhelník ABC. Dokažte, že platí: Je-li úhel ACB pravý, pak bod C leží na                           kružnici s průměrem AB.

 

 

Příklad 5:

             Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí: Jestliže je číslo n2 sudé, je sudé i číslo n.

 

 

Příklad 6:

             Dokažte, že pro všechna reálná čísla x platí:

                         

                          x ≥ 0 Û |x| - x = 0

 

 

Příklad 7:

             V rovině je dána úsečka AB. Dokažte, že pro libovolný bod X této roviny platí: Bod X              leží na ose úsečky AB právě tehdy, když se jeho vzdálenosti od bodů A, B rovnají.

 

 

Příklad 8:

             Dokažte Pythagorovu větu: V každém pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a, b a                           přeponou c platí

 

                          a2 + b2 = c2

 

Příklad 9:

             Je dána kružnice k se středem S a v jejím bodě A je sestrojena přímka p kolmá k přímce              SA. Dokažte, že přímka p má s kružnicí k jediný společný bod A.

 

 

Příklad 10:

             Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: je-li n2 dělitelné třemi, pak je třemi                              dělitelné i číslo n. ( Použijte nepřímý důkaz a rozlište případy: n = 3k +1, n = 3k + 2.)

 

 

Příklad 11:

             Dokažte sporem (a bez numerických výpočtů), že platí:

 

                                       3 + √2  > √19