Příklady z matematiky

Goniometrické  rovnice

             Rovnice, v nichž se vyskytují goniometrické funkce neznámého argumentu, nazýváme goniometrické rovnice.

             Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí může mít goniometrická rovnice nekonečně mnoho kořenů. Každý kořen goniometrické rovnice, pro který platí 0 ≤ x < 2π, nazýváme základní kořen této rovnice.

 

Řešení goniometrických rovnic rozlišíme podle jejich zadání:

             a)  Obsahuje-li goniometrická rovnice jedinou goniometrickou funkci (nazýváme ji základní goniometrická rovnice), řešíme ji jako algebraickou rovnici pro neznámou goniometrickou funkci a určíme hodnotu úhlu . Dostáváme tedy tyto čtyři typy rovnic:

 

                          sin ax = p,         kde  p Î R, ½p½£ 1, a Î R, xÎ R

                          cos bx = q,        kde  q Î R, ½q½£ 1, b Î R, xÎ R

                          tg cx = r,           kde  r Î R, c Î R, xÎ R, x ≠ [(2k+1)π]/2c, kÎ Z

                          cotg dx = s,       kde  s Î R, d Î R, xÎ R, x  ≠  kπ/d, kÎ Z

             b) Vyskytuje-li se v goniometrické rovnici více goniometrických funkcí, ale stejného argumentu, převádíme goniometrické funkce na jedinou funkci. Touto úpravou dostáváme případ a).

             c) Jsou-li v goniometrické rovnici goniometrické funkce různých neznámých argumentů, snažíme se dovolenými úpravami převést všechny goniometrické funkce na funkce stejného argumentu. Tímto postupem zadanou goniometrickou rovnici převedeme na případ b).

Příklad 1:

             Řešte v R rovnice:

                          a) sin x = 0

                          b) sin x = 1

                          c) sin x = -1

                          d) sin x = 0,5

                          e) sin x = - 0,5

                          f) cos x = 0

                          g) cos x = 1

                          h) cos x = -1

                          i) tg x = 0

                          j) cotg x = 0

 

Příklad 2:

             Řešte v R rovnice:

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 3:

             Řešte v R rovnice:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 4:

             Řešte v R rovnice:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 5:

             Řešte v R rovnice:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 6:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 7:

             Řešte rovnice (kořeny vyjádřete ve stupňové míře):

                          a) 2 sin2 x - cos2 x - 4sin x + 2 = 0

                          b) cos 2x = 2 sin x

                          c) 2 tg x + 4 cotg x = 9

                          d) 2 tg x  + 6 cotg x = 7

 

Příklad 8:

             Řešte v R rovnice:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 9:

             Řešte v R rovnice: