Příklady z matematiky

             Některé množiny reálných čísel je možno na číselné ose zobrazit úsečkou, polopřímkou nebo přímkou. Přitom krajní body této úsečky či počáteční bod této polopřímky k ní mohou, ale nemusí patřit. Takovéto podmnožiny množiny R se nazývají intervaly.

 

 

Omezené intervaly

- omezený interval je taková podmnožina množiny R, jež lze na číselné ose znázornit úsečkou. Podle toho, zda k této úsečce patří oba krajní body nebo jen jeden nebo žádný, rozdělujeme omezené intervaly na uzavřené, polouzavřené a otevřené.

Intervaly

Neomezené intervaly

- k zápisu neomezených intervalů zavádíme znak + ¥ ( čteme plus nekonečno) a znak - ¥ ( čteme minus nekonečno) - tyto znaky nepředstavují žádná čísla, takže zápisy: 3 + ¥, + ¥ -5, ( - ¥)3 nemají žádný smysl.

Příklad 1:

             Zapište jako interval množinu:

                          a) všech záporných reálných čísel

                          b) všech kladných reálných čísel

                          c) všech nezáporných reálných čísel

                          d) všech nekladných reálných čísel

                          e) všech reálných čísel

                          f) všech reálných čísel větších než 7

                          g) všech reálných čísel, jež jsou menší nebo rovna 1

 

Příklad 2:

             Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny:

                          a) {xÎR, -2  £  x  £ 3 }

                          b) {xÎR, -7 < x  £ -1 }

                          c) {xÎR, 5 £  x  < 9 }

                          d) {xÎR, -1 x  < 0 }

                          e) {xÎR, x  > 3 }

                          f) {xÎR, x  £  -2 }

 

Příklad 3:

             Na číselné ose zobrazte danou množinu a je-li to možné, zapište ji jako interval:

                          a) {xÎR, | x > 3 }

                          b) {xÎR, | x £ 1 }

                          c) {xÎR, | x ³ 4 }

                          d) {xÎR, | x < 2 }

 

Příklad 4:

             Určete, která z následujících množin je a která není interval:

                          {1, 2, 3 }, {xÎZ, x > 0 }, {xÎR, x > 0 }, N, {xÎQ, x > 0 }, Z,  {0},

                          {xÎR, -1  £  x  £ 3 }, {xÎR, 1 < | x < 2 }, ( 1, 2) È ( 3, 4), ( 3, 4) È ( 3, 4)           

Příklad 5:

             Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:

                          {2}, {xÎZ, x > 1 }, {xÎN, x < 8 }, R, {xÎR, x ³ 3 }, {xÎQ, x  < 0 }, Æ,

                          {xÎR, 1 £ x < 2 }, {xÎR, 2 £ x < 1 }

 

Příklad 6:

             Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:

                          a) {xÎR, | x - 2£ 5 }

                          b) {xÎR, | x + 2< 5 }

                          c) {xÎR, | x - 3£ 1 }

                          d) {xÎR, | x + 5£ 3 }

                          e) {xÎR, | x - 1< 2 }

                          f) {xÎR, | x + 2£ 3 }

                          g) {xÎR, | x - 1< 3 }

                          h) {xÎR, | x + 1< 2 }

 

Příklad 7:

             Určete sjednocení a průnik intervalů:

                          a) (- ¥ ; 3ñá2 ; + ¥)

                          b) ( 1, +¥ ), ( 2, + ¥ )

                          c) á2, 3ñ , ( 1, +¥ )

                          d) (-3, 2 ) , ( 2, 4 )

                          e) (- ¥ ; 0ñ, á0, 1ñ

                          f) (0, 1) , á0, 1ñ

                          g) á-2, 1ñ , á0, 3ñ

                          h) á-2, 3) , á3, 5)

                          i) (-3, -1 ) , ( -1, 4 ñ

                          j) á-4, 0ñ , á0, 2)

                          k) ( 1, +¥ ), á 3, + ¥ )

                          l) (- ¥ ; -1),  á-2 ; + ¥)

                          m) (3, 5) , á3, 5ñ

                          n) (- ¥ ; 2),  á2 ; + ¥)

Množina

Její znázornění na číselné ose

Její zápis jako intervalu

Název intervalu

 

{xÎR, a £ x  £ b }

 

 

       a                  b

 

áa ; bñ

 

uzavřený interval a, b

 

{xÎR, a < x  £ b }

 

 

         a                 b

 

(a ; bñ

polouzavřený interval a, b zleva otevřený a zprava uzavřený

 

{xÎR, a £ x  < b }

 

 

          a               b

 

áa ; b)

polouzavřený interval a, b zleva uzavřený a zprava otevřený

 

{xÎR, a < x  < b }

 

 

          a                 b

 

( a, b)

 

otevřený interval a, b

Množina

Její znázornění na číselné ose

Její zápis jako intervalu

Název intervalu

 

{xÎR, x  ³ a }

 

 

      

 

áa ; + ¥)

zleva uzavřený od a do plus nekonečna

 

{xÎR, x  > a }

 

 

 

 

(a ; + ¥)

zleva otevřený od a do plus nekonečna

 

{xÎR, x  £  a }

 

 

         

 

(- ¥ ; añ

zprava uzavřený od minus nekonečna do a

 

{xÎR, x < a }

 

 

( - ¥, a)

zprava otevřený od minus nekonečna do a