Příklady z matematiky

Množina

 

- je souhrn nějakých předmětů, který chápeme jako celek. O předmětech, jejichž souhrn vytváří danou množinu, mluvíme jako o prvcích této množiny. Množina je jednoznačně určena svými prvky.

 

K vyjádření okolnosti, že x je prvkem množiny A, používáme zápis xÎA. Není-li x prvkem množiny A, píšeme xÏA.

 

Zápis množin

 

Výčtem prvků

M={x1,x2,x3}) – používá se u konečných množin

 

Charakteristickou vlastností

M= {xÎR; x ³ 5}

 

Prázdná množina

 

- množina, která nemá žádný prvek

- značíme ji: Æ   nebo    {}

- pozor na : {Æ} - toto je množina obsahující prázdnou množinu

 

 

Podmnožina množiny

 

- o množině A říkáme, že je podmnožinou množiny B ( píšeme A Ì B ) jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B.

 

- protože každý prvek libovolné množiny A je prvkem množiny A, je každá množina A podmnožinou sebe sama. A Ì A

 

- Protože každý prvek prázdné množiny je prvkem jakékoli množiny A  (neboť prázdná množina žádné prvky nemá(, je prázdná množina podmnožinou každé množiny A.

       Æ Ì A

 

Rovnost množin

 

-množiny A,B se rovnají, jestliže obsahují tytéž prvky. Zapisujeme: A = B.

 

-je zřejmé, že množiny A, B se rovnají jedině tehdy, když každý prvek množiny A je prvkem množiny B a také každý prvek množiny B je prvkem množiny A.. Tato vlastnost se někdy využívá při důkazu rovnosti množin. Chceme-li dokázat, že se množiny A, B rovnají, dokážeme jednak A Ì B , jednak B Ì A.

 

Sjednocení množin

 

-je množina všech prvků, které jsou obsaženy alespoň v jedné z obou množin A, B.

 

- zapisujme A È B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Průnik množin

 

- je množina všech prvků, které jsou obsaženy v obou množinách zároveň

 

- zapisuje: A Ç B

 

- z definice průniku plyne, že průnik každé množiny s množinou prázdnou je opět prázdná množina. Rovněž průnikem každých dvou množin, které nemají žádné společné prvky, je prázdná množina. Množiny A,B takové, že A Ç B = Æ, nazýváme disjunktní množiny.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozdíl množin

 

- je množina všech prvků množiny A, které nejsou prvky množiny B.

 

- zapisujeme: A  - B nebo A \ B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Doplněk množiny

 

- v případě, že množina A je podmnožinou množiny B, zavádíme pojem doplněk množiny A v množině B, a to jako množinu všech prvků z B, které nepatří do A. Je-li zřejmé, v jaké množině B tvoříme doplněk množiny A, mluvíme jen o doplňku množiny A.

 

- značíme: A´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Základní množinové pojmy

B

A

A

B

B

A

B

A

Příklad 1:

             Napište všechny podmnožiny množiny H = {1; -2; 0,5}. Které z nich jsou  

             podmnožinou množiny Z, množiny N, množiny U = {xÎZ, | x | <1 }?

 

Příklad 2:

             Určete všechny podmnožiny množin {3, 5, 8}, {1, 4}, {0},   Æ.

 

Příklad 3:

             Zapište všechny podmnožiny množiny A = {-3;0; 0,5; 1}, které jsou současně       

             podmnožinou:

             a) množiny N0,                          b) množiny Z,                c) {xÎR, | x | <1 }.

            

 

Příklad 4:

             Určete, které z následujících množin jsou si rovny:

             {xÎZ, x2 < 1 }, {0}, {xÎN, x 0 }, N, {xÎZ, x = -x }, {0, 1, -1, 2, -2 }, Æ,

             {xÎZ, x > 0 }.

 

 Příklad 5:

             Zjistěte, které z následujících množin jsou si rovny:

             {xÎZ, x > 0 }, {xÎR, | x£ 0 }, {0}, {xÎN, | x -2| 2 }, N, {xÎR, Öx2 = x },

             {1, 2, 3 }, {xÎR, x  ³0 }.

 

Příklad 6:

             Určete doplňky množin A = N, B = {xÎN, x > 1}, C =   {1 }, jednak v množině N,              jednak v množině Z.

 

Příklad 7:

             Určete doplněk množiny A v množině B

                          a) A =  {3, 4, 5, 6, 7 }, B = {xÎN0, x £ 10}

                          b) A =   {xÎZ, | x³ 2 }, B = Z

                          c) A =   {xÎN0, x  ³ 2 }, B = N0

                          d) A =   {xÎZ, x  ³ 5 }, B = {xÎZ, x  > 3 }

 

Příklad 8:

             Určete doplněk množiny B v množině A:

                          a) A =  {-2, -0,5, 0, 1, 3 }, B = {-0,5, 0, 3 }

                          b) A =   Z, B = {xÎZ, x  £ 0 }

                          c) A =   {xÎZ, x > 5 }, B = {xÎZ, x  ³ 7 }

                          d) A =   N, B = {xÎN, | x> 2 }

                          e) A =  Z, B = {xÎZ, | x> 2 }

                          f) A =    RB = {xÎR, Öx2 = -x }

                          g) A =   R, B = {xÎR, | x -1| 0 }

                          h) A =   R, B = {xÎR, | x -2| ³ 0 }

 

Příklad 9:

             Určete sjednocení a průnik množin:

                          a) A =  {-5, 0, 3, 7 }, B = {0, 1, 2, 3 }

                          b) A =   {-2, 0, 5, 7 }, B = {-3, -1, 0, 4, 7, 9 }

                          c) A =   {xÎZ, x ³ 0 }, B = {xÎZ, x £ 0 }

                          d) A =   {xÎZ, | x³ 2 }, B = {xÎZ, | x³ 1 }

                          e) A =   {xÎZ, x  < -3 }, B = {xÎZ, | x³ 1 }

                          f) A =    {xÎZ, x  < -5 }, B = {xÎZ, x   £ -1 }

                          g) A =   N, B = {xÎR, | x | 3 }

                          h) A =   N, B = {xÎR, x 1 }

 

Příklad 10:

             Stanovte podmínky, které musí být splněny, aby platilo:

                          a) A Ç B = A

                          b) A È B = A

                          c) BA´ = A

                          d) BA´ = Æ

                          e) A È B = A Ç B

 

Příklad 11:

             Určete všechny množiny X, pro něž je A È X = B, jestliže:

                          a) A =   {xÎN, x  £ 2 }, B = {xÎN0, x < 4 }

                          b) A = Æ, B = {1, 2 }

                          c) A = {1}, B = {2, 3}

                          d) A = Æ, B = {0 }

                          e) A = {1}, B = {2}

 

Příklad 12:

             Určete všechny podmnožiny X množiny {1, 2, 3, 4 }, pro něž platí:

                          a) {1, 3, 4 } Ç X = {1, 4 }

                          b) {1, 4 } Ç X = {4 }

                          c) {3} Ç X = Æ

                          d) {1, 3} Ç X = {2, 4 }

                          e) {1, 2 } Ç X = {1}

                          f) {1, 3, 5 } Ç X = {1, 3 }

                          g)  {2} Ç X = Æ

                          h) {1, 2} Ç X = {3, 4 }

 

Příklad 13:

             Určete rozdíly A-B a B-A množin A, B, jestliže:

                          a) A =  {-3, -1, 0, 5 }, B = {-1, 0, 1}

                          b) A =   {xÎZ, x £ -2 }, B = {xÎZ, x  < -7 }

                          c) A =   Z, B = N

                          d) A =   N, B = {xÎZ, | x£ 2 }

                          e) A =   Z-, B = {xÎZ, | x -1|   3 }