Příklady z matematiky

             Kvadratickou rovnicí nazýváme každou rovnici tvaru:

 

                                       ax2 + bx + c = 0

 

             kde musí platit :a, b, c Î , a 0.

ax2 je kvadratický , bx lineární a c absolutní člen

 

Nejdříve vypočteme diskriminant:

 

                          D = b2 - 4 a c

 

Mohou nastat tyto tři možnosti:

 

             a) D <Þ daná rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení

 

             b) D = 0 Þ daná rovnice má v oboru reálných čísel jeden dvojnásobný kořen

 

             c) D > 0 Þ daná rovnice má v oboru reálných čísel dva různé reálné kořeny

 

 

Kořeny kvadratické rovnice vypočítáme pomocí vzorce:

Kvadratické rovnice o jedné neznámé

Kvadratická rovnice bez absolutního členu

 

             Tak se nazývá rovnice, v níž je c = 0

 

                                            ax2 + bx = 0

 

Tuto rovnici převedeme na tvar:

 

                                                    x ( ax + b) = 0

 

 

Kořeny pak jsou: x1 = 0 a x2 =

 

 

 

Ryze kvadratická rovnice

 

             Tak říkáme rovnici, v níž b = 0

 

                                                    ax2 + c = 0

 

Tato rovnice je ekvivalentní  s rovnicí:

Jestliže je                     pak rovnice nemá řešení

 

 

 

Pro případ, kdy je                    je řešením rovnice :

Příklad 1:

             Řešte rovnice:

                          a) x2 -5x = 0

                          b) x2 + 3x = 0

                          c) 0,005x2 - 5x = 0

                          d) 5x2 + 11x = 0

 

Příklad 2:

             Řešte rovnice:

                         

                          a)

 

 

 

                          b)

 

                          c) (x + 7 )( x - 2 ) = (3x - 1 )(2x + 14 )

                          d) ( x + 1 )2 - (2x + 3 )2 = (x + 4 ) (2x - 2)

 

Příklad 3:

             Určete a tak, aby rovnice měla jeden kořen rovnající se nule. Určete i druhý kořen.

                          a) 2x2 -3( a + 2 )x + a - 5 = 0

                         b) ( a + 1 )x2 - 2ax + a( a - 3) = 0

 

Příklad 4:

             Řešte:

                         a) 2x2 = 32

                         b) 4x2 = 25

                         c) 0,3x2 = 8,4

                         d) 25x2 - 49 = 0

 

Příklad 5:

             Řešte:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 6:

             Řešte kvadratické rovnice:

                          a) x2 + 4x - 96 = 0

                          b) x2 + 0,9x - 0,36 = 0

                          c) x2 - 18x + 77 = 0

                          d) x2 + 4x - 1 = 0

                          e) 25x2 - 80x + 64 = 0

                          f) 13x2 - 13x + 10 = 0

                          g) x2 - 3,9x + 3,5 = 0

 

Příklad 7:

             Řešte rovnice: 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Příklad 8:

             Řešte rovnice:

                          a) ( 2x - 7 )2 - 125 = ( 3x + 2 )2

                          b) ( 5x - 2 )2 - 8 = 7( 5x - 2 )

                          c) ( 3x - 5 )2 + ( 2x - 6 )2 = 5   

                          d) ( 7x - 1 )2 - ( 6x + 1 )2 = 0

                          e) ( x + 4 )2 + ( x + 8 )2 + 20 = ( x + 2 )2

 

Příklad 9:

             Řešte kvadratické rovnice a proveďte diskuzi vlastností kořenů vzhledem k parametru a.

                          a) x2 + 4x + a = 0

                          b) x2 + 5x - 6a = 0

                          c) ax2 + 2x - 8 = 0

                          d) ax2 + (2a - 1)x + a = 0

                          e) ( a + 1 )x2 + 2ax + a - 2 = 0

 

Příklad 10:

             Sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny:

                          a) x1 = 2 ; x2 = 3

                          b) x1 = -3 ; x2 = 4

                          c) x1 = 5 ; x2 = -6

                          d) x1 = 0,5 ; x2 = 7,5

 

Příklad 11:

             Řešte rozkladem na součin kořenových činitelů:

                          a) x2 -13x + 42 = 0

                          b) x2 + 4x - 5 = 0

                          c) x2 + 3x - 10 = 0

                          d) x2 + 6x - 7 = 0

                          e) x2 -12x + 36 = 0

                          f) x2 -12x + 27 = 0